3

## Классическое определение вероятности

Основные цели

Закрепить классическое определение вероятности, как отношения числа благоприятных исходов к общему числу исходов эксперимента; продемонстрировать границы применимости классического определения, неразрывно связанного с равновозможностью исходов; дать возможность убедиться в эквивалентности статистического и классического определений вероятности, путем постановки статистических экспериментов и проверки теоретических результатов.

Методический комментарий

Главная методическая особенность данного раздела - прослеживание связи статистического и классического определения вероятности. Во всех предлагаемых задачах ответ может быть получен без привлечения компьютера через комбинаторные рассуждения. Однако всякий раз у ученика сохраняется возможность проверить полученный результат, поставив соответствующий эксперимент в лаборатории.

Отметим, что получаемые в результате эксперимента оценки вероятности носят лишь приближенный характер, что не позволяет просто "срисовать" их с экрана, а лишь использовать как ориентиры для проверки правильности своих рассуждений и выкладок.

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№1-4. Эти задачи могут решаться без использования лабораторий. Однако описание той или иной реальной ситуации в рамках одной из предложенных моделей представляет и самостоятельный интерес, являясь столь же неотъемлемой частью общематематической культуры, что и умение работать с числами или геометрическими конструкциями. Например, в задаче №1,в можно предложить ученикам описать эксперимент в рамках "урновой схемы", выбрав в качестве гласных букв шары одного цвета, а в качестве согласных - другого. Такое описание сразу дает возможность говорить и о вероятностях более сложных событий ("выбираем три буквы" и др.).

№5. Задачу можно описать в рамках модели "Шары без возвращения" с N зелеными (яблоки) и 1 желтым (груша) шарами. Если не учитывать порядок шаров и различать только их цвета, то получим всего два (неравновозможных!) исхода, один из которых и будет искомым. Чтобы решить задачу теоретически нужно выбрать систему равновозможных исходов (различать не только цвета, но и сами шары).

№6. Как и предыдущая, задача хорошо описывается в рамках модели "Шары без возвращения": 2 красных (левые варежки) и 2 желтых (правые варежки) шара. Интересно, что в пунктах а) и б) получается одинаковый ответ.

№7. Задача описывается в рамках модели "Шары без возвращения": из 3-х шаров извлекаем 3 с обязательным учетом порядка и различая все шары между собой.

Пункт 3.2

№1. Простая задача на освоение интерфейса лаборатории.

№2. Эта задача еще раз возвращает нас к "ошибке Даламбера" (см. №4 из пункта 2.1).

№3. Здесь существенно, что при выборе системы исходов мы должны учитывать порядок шаров - иначе не удастся выразить через них событие B. Эта простая задача связана с очень глубоким понятием измеримости в теории вероятностей (попросту говоря, чем "мельче" исходы, тем богаче система случайных событий).

№4,5. Еще раз обсуждается понятие равновозможности. Ученики должны усвоить "золотое" правило: природа различает любые предметы, - даже те, которые кажутся нам внешне одинаковыми.

№6. Довольно сложная комбинаторная задача, которая очень просто описывается с помощью модели "Шары без возвращения": 10 шаров по 2 шара каждого цвета. Такое описание не только позволяет получить приближенный ответ (лаборатория сама вычисляет вероятность любого события с точностью до 0,0001), но и найти путь к точному решению.

Пункт 3.3

№1,2. Простые задачи, в которых ученики должны освоить основные приемы работы в лаборатории (выбор различных систем исходов, формирование событий) и закрепить классическое определение вероятности.

№3. Чтобы получить в сумме меньше 8 очков, на всех кубиках должны выпасть 1, либо на одном 2, а на остальных 1.

№4,5. Это снова задачи на тему "природа различает шары, а не их цвета". В этом легко убедиться, поставив соответствующие эксперименты.

№6,7. Эти задачи существенно отличаются друг от друга устройством замков: в первом случае кнопки нажимаются одновременно ("Шары без возвращения"), во втором - последовательно, с возможностью повторного использования той же цифры ("Шары с возвращением"). Разные модели и, естественно, совершенно разные решения.

№8. Легко решается с помощью лаборатории - но дает лишь приближенные ответы. Чтобы заработать плюс, нужно найти точное решение (а вот его уже можно проверить в лаборатории).

№9-12. Комбинаторные задачи, для которых не требуется использования лабораторий.

№13. Это повторение задачи 6 из предыдущего пункта с требованием найти искомую вероятность комбинаторными рассуждениями.

№14. Решается теоретически и проверяется с помощью модели "Монеты".

№15. Перекликается с задачей о шляпах, но теперь разные стрелки могут стрелять в одного и того же вальдшнепа ("надевать одну и ту же шляпу"). Поэтому в качестве модели следует выбрать "Шары с возвращением": в коробке 3 разноцветных шара ("3 вальдшнепа"), выбираем из нее 3 шара с возвращением ("делаем 3 выстрела"). Интересующее нас событие состоит в том, что среди вынутых шаров нет всех трех цветов.

№16. Решается аналогично №№4,5.

№17. Задача непростая с точки зрения теории. Нужно выбрать модель с пятью монетами (5 выстрелов) и посчитать, в скольких исходах количество орлов не менее 3-х. А теперь попробовать убедить учеников, что эта модель соответствует описанной ситуации!