2

## Статистическое определение вероятности

Основные цели

Познакомить ученика с базовым понятием вероятности, как предельного значения относительной частоты в достаточно длинной серии экспериментов. Понятия "предельное значение" и "достаточно длинная серия" не расшифровываются - вместо этого ученику предоставляется возможность самостоятельно (сколь угодно долго) наблюдать за проведением такой серии с выводом ее результатов на экран.

Методический комментарий

Во всех упражнениях пункта (кроме №7) решение задачи начинается с наблюдения за серией случайных экспериментов, описанных в условии задачи. Это очень важный методический момент: школьник получает возможность воочию пронаблюдать за изменчивостью и устойчивостью частот, проверить экспериментально свои выводы и результаты. При этом скорость постановки таких "виртуальных" экспериментов несравнима с реальными, что дает возможность получать вполне приемлемые статистические оценки для вероятностей.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2.1

№1,2. Для ответов на вопросы в этих задачах требуется только знание соответствующих определений.

№3. Результаты этой задачи нуждаются в обсуждении. Задача призвана рассеять знаменитое вероятностное заблуждение, что если "уже выпало слишком много орлов, то теперь чаще будут выпадать "решки". Учащиеся должны убедиться, что в опыте с монетой приближается к нулю только разность относительных частот. Разность же абсолютных, наоборот, неограниченно возрастает (можно предложить провести самостоятельное исследование, чтобы оценить скорость этого возрастания).

№4. Задача связана со знаменитой "ошибкой Даламбера": выбранные три возможных исхода неравновозможны, что хорошо видно из результатов проведенной серии экспериментов. Можно предложить в этом же эксперименте найти систему равновозможных исходов.

№5,6. В этих задачах ученики должны научиться формировать средствами лаборатории случайные события из случайных исходов. Если событие сформировано правильно, то его частота получается автоматически.

№7. Та же задача, что и в №5,6, но теперь частота события вычисляется средствами электронной таблицы.

№8,9. Хотя материал главы не предусматривает формального введения понятия случайной величины, в задаче идет речь именно об этом. Интересно еще до проведения эксперимента, выслушать предположения учащихся о том, какие распределения будут получены в этих задачах (например, предложить им нарисовать будущие полигоны частот).

Пункт 2.2

№1. Продолжает обсуждение проблем, поднятых в №3 из предыдущего пункта.

№2. По существу в задаче появляется понятие дополнительных событий и выясняется вопрос об их частоте и вероятности.

№3. Задача чисто теоретическая, в экспериментах не нуждается: получить "крайние" случаи, в которых 100 раз подряд выпадают только орлы или только решки, экспериментально невозможно, хотя именно такие серии нужно использовать, чтобы оценить значение частоты после 200 испытаний сверху и снизу.

№4. Еще одна задача на тему, поднятую в №3 из предыдущего пункта.

№5. В этой задаче впервые (и, разумеется, неявно) рассматривается бесконечное пространство исходов: ведь первый орел может выпасть в 1-м, 2-м, 3-м, : бросании. Задачу можно решать двумя способами.

1-й способ (длинный и честный). Выбираем модель с одной монетой и начинаем проводить по одному бросанию за каждого игрока, пока не выпадет орел. Выпал орел - фиксируем, чей это выигрыш и начинаем новую игру. Проведя достаточно большое количество игр (хотя бы 100) можно получить удовлетворительную оценку вероятностей и даже догадаться, чему равны их точные значения.

2-й способ (короткий, но не совсем честный). Выбираем модель с несколькими (например 7-ю) монетами, причем договоримся различать их между собой, называя первой, второй и т.д. Ясно, что вместо семикратного бросания одной монеты можно один раз бросит нашу семерку монет. Только в одном из 128 возможных исходов эксперимента "орел" не выпадает вовсе (т.е. наша игра не заканчивается). Значит, с точностью до 1/128 можно оценить интересующие нас вероятности, сформировав первое событие из исходов, в которых первый орел стоит на нечетном месте (1,3,5,7), а второе событие - на четном (2,4,6).