Чтобы избавиться от большого количества числовых данных, полученных в выборке, их заменяют одним или несколькими параметрами, которые характеризуют всю выборку в целом. На практике наиболее часто используют характеристики среднего: среднее арифметическое, моду и медиану.

Средним арифметическим (или выборочным средним) ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество.

Модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду наиболее часто (оно в этом ряду самое "модное"). В отличие от среднего арифметического, которое можно вычислить для любого числового ряда, моды может вообще не быть. Если два или более числа встречаются одинаково часто, то ряд не имеет моды.

Медианой ряда, состоящего из нечетного количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить. Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел, называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда, если этот ряд упорядочить.

Пример. Пусть ученик получил в течение года следующие отметки по алгебре:

5, 2, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5

Какую отметку считать "средней" и выставить за четверть? Среднее арифметическое будет:

Мода этого ряда равна 5, и медиана — тоже 5.

Если вам дана не сама выборка, а таблица частот, то вычисление рассмотренных характеристик нужно производить по-другому. Представим тот же самый ряд из примера в виде таблицы частот:

Отметка | Абсолютная частота | Относительная частота | Накопленная частота
2 | 1 | 0,1 | 0,1
4 | 3 | 0,3 | 0,4
5 | 6 | 0,6 | 1
ИТОГО | 10 | 1

Для вычисления среднего арифметического вместо многократного сложения одного и того же числа можно умножить его на абсолютную частоту:

А если почленно поделить каждое слагаемое в этой формуле на количество чисел, то получается формула, использующая относительную частоту каждого значения:

Для вычисления моды нужно найти максимальное значение в столбце абсолютных или относительных частот и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В нашем случае максимальная частота равна 6, значит, модой выборки будет 5. Если максимальных частот в таблице несколько, то выборка не имеет моды.

Для вычисления медианы нужно найти первое значение накопленной частоты, превосходящее 0,5, и выбрать соответствующее ему значение числового ряда. В нашем случае накопленная частота впервые превосходит 0,5 только в последней строке таблицы, значит, медианой выборки будет 5.

При вычислении числовых характеристик выборки по интервальной таблице частот в качестве значений выборки используются середины интервалов.