1

## Производная и её применение

Основные цели

Способствовать формированию основных понятий данной темы, усилить роль графических представлений при решении задач с использованием производной функции.

Методический комментарий

Упражнения п.1 "Приращение аргумента и приращение функции" помогают усвоить важнейшие понятия математического анализа, предшествующие определению производной. Учащийся должен научиться вычислять приращение функции, заданной различными способами: аналитически, то есть при помощи формулы (№1,2), графически (№3), при помощи таблицы (№4). Механический смысл разностного отношения как средней скорости проясняется в задачах №5,6, а геометрический смысл (тангенс угла наклона секущей) - в задачах №7,8.

Основное назначение задач №1-3 п.2 "Производная функции. Механический и геометрический смысл производной" состоит в закреплении представления о производной функции как о пределе разностного отношения. Задачи №4,8,9 дают наглядное представление о механическом смысле производной, а задачи №5,6,7 - о геометрическом смысле производной функции в данной точке.

Навыки вычисления производных элементарных функций а также простейшие правила дифференцирования отрабатываются в п.3 "Правила дифференцирования".

В п.4 "Монотонность и экстремумы функции" предложены задачи, в которых на основе графического анализа производной требуется найти интервалы монотонности функции (№1,5), а также экстремумы функции (№2,4). Возможность непосредственного построения графика производной функции, заданной аналитически, позволяет учащемуся при решении этих задач не отвлекаясь на технические моменты, сосредоточить своё внимание на изучении связи между поведением производной функции и самой функции. Задача №7 (определение количества корней уравнения) представляет собой небольшое математическое исследование и расширяет класс задач, которые успешно решаются с помощью производной.

Задачи на составление уравнения касательной (№1,2), приближенные вычисления при помощи дифференциала (№3,4,5), применение производной в механике (№6,7) предложены в п.5 "Приложение производной и дифференциала". Использование в этом пункте виртуальной лаборатории "Графики функций" делает формулировку и сам процесс решения задач наглядным, что способствует более глубокому пониманию сути этих задач.

Основной целью задач п.6 "Наибольшее и наименьшее значения функции" является отработка навыков и умений применения производной при решении различных прикладных задач. Упражнения №2-8 предполагают составление соответствующей функции и нахождение её экстремумов путем графического анализа производной.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2

№5. Угол определять с точностью до 1 градуса, округляя результат измерения по недостатку.

Пункт 3

№3-5. Выражение для производной может быть записано в разных формах.

Пункт 4

№1. Построить график производной данной функции и по нему определить интервалы возрастания и убывания.

№2. Построить график производной данной функции и по нему определить максимумы и минимумы функции.

№3. Построить график производной данной функции и по нему определить нули производной.

№4-5. Графиком производной квадратного трехчлена является прямая.

№7. Построить график производной левой части, определить максимумы и минимумы функции, а также поведение функции на бесконечности и сделать вывод о том, сколько раз график функции пересекает ось ОХ.

Пункт 6

№1. Определить точки, подозрительные по экстремуму, и сравнить значения функции в этих точках со значениями на концах промежутка.

№2-8. Составить функцию, для которой надо найти наибольшее (наименьшее) значение и воспользоваться графическим анализом производной данной функции.