5

## Уравнения второй степени с двумя переменными и их системы

Основные цели

Расширение круга представлений учащихся о графиках уравнений с двумя переменными; увеличение удельного веса заданий графического характера.

Методический комментарий

Основа для изучения данной темы подготовлена материалами таких разделов, как "Линейные уравнения с двумя переменными" и "Функции и их графики". Учащиеся уже встречались с прямой, гиперболой, параболой как с графиками уравнений.

При выполнении заданий п.5.1 "Графики некоторых уравнений второй степени с двумя переменными" этот список пополнится уравнениями окружности (с центром в начале координат и в произвольной точке координатной плоскости), параболы с горизонтальной осью симметрии, эллипса. Задания направлены на формирование умения распознавать уравнения той или иной линии, а также на изучение соответствующей кривой путем наблюдения изменения ее формы и положения при изменении параметров уравнения (см., например, №6,7). Здесь не забыта и эстетическая составляющая темы. Так в №5 предлагается построить орнамент; подобного рода задания могут придумать и сами учащиеся.

В п.5.2 "Графическое решение и исследование систем уравнений с двумя переменными" предлагается линия использования графиков для решения и исследования уравнений с двумя переменными. Применение компьютера позволяет рассматривать и некоторые системы с параметром, что в традиционной методике является весьма сложной задачей для учащихся. Подчеркнем, что главное здесь - динамичные наблюдения и выявления возможных случаев взаимного расположения графиков, определение числа точек их пересечения (см.№4). Такие задания создают хорошую эмпирическую основу для решения в последующем уравнений и систем с параметрами аналитическими методами.

Логически оправданным продолжением материала, рассмотренного выше, является п.5.3 "Графическое решение уравнений с одной переменной". Акцент здесь делается на отыскание корней уравнений третьей и четвертой степени (см.№1-4). Итогом выполнения соответствующих заданий могут явиться некоторые обобщения, сделанные на основе наблюдений. Например: уравнение третьей степени всегда имеет хотя бы один корень, а уравнение четвертой степени (как и квадратное уравнение) - нет; уравнение третьей степени может иметь один корень, два корня или три и т.д.

Завершается тема рассмотрением п.5.4 "Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их системы". С самой постановкой задачи учащиеся познакомились, рассматривая линейные неравенства с двумя переменными. Здесь задача сложнее: если график уравнения - некоторая кривая, то более трудно определить области, которые соответствуют неравенству, составленному с помощью знака ? или ?. Однако, эта проблема "снимается" с помощью компьютера, и учебная задача состоит в наблюдении, накоплении опыта, формировании умения выполнить в несложных случаях подобное задание самостоятельно на бумаге. Подчеркнем также, что для учащихся обычно привлекательной является возможность получения на координатной плоскости разнообразных "картинок" (см.№4,5).

Комментарий к упражнениям

Пункт 5.1

№1. Обратите внимание: ученик сначала должен распознать уравнение и внести в таблицу термин - название его графика. Компьютеру же отводится роль наглядного средства для самоконтроля.

№3-4. Сложность здесь для многих учеников состоит в умении правильно определить координаты центра окружности.

№6-7. Здесь учащиеся знакомятся с уравнениями новых линий - эллипса и горизонтальной параболы. Главное учебное действие - наблюдение, придание фигуре желаемой формы и положения через изменение параметров.

Пункт 5.2

№1-2. Если в первом задании решения системы - точные, то во втором - приближенные; их достаточно определить с одним знаком после запятой.

№4. Не надо усугублять и так нелегкую для учащихся задачу исследования системы уравнений с параметром требованием указывать сами решения при тех или иных значениях параметра. Главное здесь - возможность наблюдения в динамике изменения взаимного расположения двух графиков.

Пункт 5.4

№2-3. Упражнения начинаются с простого случая рассмотрения линейных неравенств; тем самым актуализируются знания, полученные учащимися ранее.

№4. Естественным развитием этого упражнения является самостоятельное описание на алгебраическом языке и построение различных множеств точек плоскости. Наиболее интересные "картинки" должны быть предъявлены классу.