3

## Числовые характеристики выборки

Основные цели

Закрепить определения основных числовых характеристик выборки и получить практические навыки их вычислений; рассмотреть алгоритмы вычисления средних характеристик и характеристик разброса разными способами и по разным формам представления выборки; познакомить учащихся с понятием "математического эксперимента", как новой формы исследовательской деятельности.

Реализация последней цели становится возможной только благодаря использованию компьютера, позволяющего автоматизировать большой объем вычислительной работы, связанной с обработкой статистической информации.

Методический комментарий

Главный акцент следует сделать на качественном поведении числовых характеристик и их практической интерпретации.

Особое внимание нужно уделить различным способам вычисления числовых характеристик; предостеречь учащихся от ошибок, связанных с механическим применением формул без обдумывания их содержательного смысла. Особенно удобны для этого упражнения, в которых исходная выборка предстает в различных формах: числовой ряд, словесное описание, таблица частот.

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№1. Для вычисления среднего арифметического используется кнопка "Суммирование" с последующим делением полученной суммы на объем выборки. Для вычисления медианы ряд нужно ранжировать (кнопка "Упорядочить по возрастанию").

№2. Задача отличается от предыдущей только тем, что на первом этапе необходимо "списать" выборку в ЭТ с представленной диаграммы.

№3. Внимание! Перед решением этой задачи нужно предостеречь учеников от одной из наиболее распространенных ошибок: механическом переносе способов работы с числовым рядом на таблицу частот. Здесь нельзя обойтись обычным суммированием заданных в таблице чисел.

1-й способ решения. Сначала нужно построить дополнительный столбец, в котором будут найдены произведения каждого значения (столбец "Возраст") на его абсолютную частоту (столбец "Число участников"). Теперь найти сумму полученных произведений. Поделить ее на сумму абсолютных частот (объем выборки).

2-й способ решения. Построить столбец относительных частот. Построить столбец, в котором вычислить произведение каждого значения (столбец "Возраст") на его относительную частоты. Найти сумму этих произведений.

Полезно решить эту задачу двумя способами и сравнить результаты. Можно обсудить и неправильное решение, о котором говорилось выше.

№4. В этой задаче числовые характеристики вычисляются по интервальной таблице частот, поэтому появляется дополнительный начальный шаг - получение в отдельном столбце середин заданных интервалов. Именно этот столбец участвует в дальнейших расчетах.

№5,6. Требуется сначала "списать" числовые данные с полигона и гистограммы.

№7. В задаче идет речь о среднем арифметическом, моде и медиане.

№8,9. Перед теоретическим выводом соответствующей формулы ученик имеет возможность провести "математический эксперимент", чтобы увидеть искомую закономерность и выдвинуть гипотезу. Это не только позволяет увидеть правильный ответ, но и наводит очень часто на метод доказательства (которое, кстати говоря, совсем не обязательно требовать ото всех учеников).

№10. Для ответа на вопрос в) следует умножить среднее количество детей в семье на 500.

№11. Надо найти моду, среднее, медиану и накопленную частоту для 1000.

№12. Следует ввести произвольный числовой ряд, вычислить в ЭТ его основные характеристики, а затем следить за их изменением при варьировании чисел ряда.

№13. Трудность может вызвать только пункт б). Формулу для среднего вывести несложно. Дальше остается доказать, что мода и медиана не изменятся.

№14. В пункте б) нужно умножить средний доход от одного билета на число проданных за год билетов.

Пункт 3.2

№1. Вычислять дисперсию в этой и последующих задачах проще всего не по определению, а по приведенной в основных сведениях формуле: среднее значение квадрата выборки минус квадрат среднего значения. Для этого сначала вычисляем среднее арифметическое приведенных значений. Затем строим дополнительный столбец, в котором вычисляем квадраты исходных значений (возводить в квадрат удобно с помощью операции возведения в степень: A1^2). Находим их среднее арифметическое. Вычитаем из него квадрат среднего арифметическое - это и есть дисперсия. Для вычисления стандартного отклонения используем функцию SQRT или возводим дисперсию в степень 1/2.

№2. Требуется сначала "списать" числовые данные с гистограммы.

№3. Важность этой задачи, как и в предыдущем пункте, в том, что здесь требуется вычислить параметры выборки не по числовому ряду, а по таблице частот, поэтому механизм вычислений совсем не такой, как в №1. Для вычисления дисперсии, как и при вычислении среднего, есть два способа: использовать абсолютные или относительные частоты. Оба способа описаны в №3 предыдущего пункта. Заметим только, что при вычислении дисперсии понадобится еще два дополнительных столбца: в одном нужно найти квадраты исходных значений ("квадраты возрастов"), а в другом - произведения этих квадратов на абсолютные (или относительные) частоты.

№4. В этой задаче числовые характеристики вычисляются по интервальной таблице частот, поэтому появляется дополнительный начальный шаг - получение в отдельном столбце середин заданных интервалов. Именно этот столбец участвует в дальнейших расчетах.

№5. Для ответа на вопрос задачи следует посчитать дисперсию.

№6. По данным задачи строятся две таблицы частот, по которым и рассчитываются основные характеристики каждой выборки.

№7. Требуется только четкое знание определений.

№8,9. См. комментарий к задачам 8,9 предыдущего пункта.

№10. Ответ можно получить экспериментально или воспользоваться результатом исследований, проведенных в предыдущей задаче.

№11. При решении задачи нужно обратить внимание, что размах - самая чувствительная к ошибкам измерений статистическая характеристика. Все остальные характеристики ведут себя гораздо устойчивее (особенно при больших объемах выборки).

№12. Задача скорее алгебраическая. Интересно проверить полученные зависимости на крайних случаях (x=1, x - очень большое число и т.д.).

№13. Это снова одна из задач, позволяющая до доказательства провести ряд экспериментов. Интересно, например, обнаружить случаи, когда размах и стандартное отклонение совпадают.