Вы уже знаете, что в опытах с равновозможными исходами вероятность можно вычислить по формуле

,

где n — число всех возможных исходов эксперимента, m — число исходов, при которых наступает событие A (они называются благоприятными для A).

Самый надежный способ найти n и m — выписать все возможные и все благоприятные исходы. Но во многих задачах исходов оказывается слишком много, тогда на помощь приходит комбинаторика — наука о переборе и подсчете комбинаций.

Рассмотрим случайный эксперимент из нескольких действий, производимых одновременно или друг за другом (такие эксперименты называют многоэтапными).

Например:

- одновременно бросают две монеты;
- два раза бросают одну и ту же монету;
- друг за другом из колоды вынимают две карты, не возвращая карту обратно ("выбор без возвращения");
- друг за другом из колоды вынимают две карты, возвращая карту обратно ("выбор с возвращением").

ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ:

|  | если первое действие в эксперименте можно выполнить a способами, после чего второе действие — b способами, после чего третье — c способами и т. д., то общее число исходов всего эксперимента будет n = a · b · c · ... .

Например, в рассмотренных экспериментах:

- одновременно бросают две монеты: n = 2 · 2 = 4;
- два раза бросают одну и ту же монету: n = 2 · 2 = 4;
- друг за другом из колоды вынимают две карты, не возвращая карту обратно ("выбор без возвращения"): n = 36 · 35 = 1260;
- друг за другом из колоды вынимают две карты, возвращая карту обратно ("выбор с возвращением"): n = 36 · 36 = 1296.

Пример 1. Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета? Решим эту задачу в двух вариантах.

а) "Выбор без возвращения".
n = 36 · 35 = 1260,
m = 36 · 17 = 612.
И искомая вероятность .

б) "Выбор с возвращением". Отличие от пункта а) только в том, что можно повторно вытянуть ту же самую карту:
n = 36 · 36 = 1296,
m = 36 · 18 = 648.
Вероятность, что карты окажутся одного цвета, .

Сформулируем еще два комбинаторных правила, полезных для подсчета исходов:

ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ: если все исходы эксперимента можно разбить на непересекающиеся классы, содержащие a, b, c, ... возможных исходов, то общее число исходов всего эксперимента будет n = a + b + c + ... .

ПРАВИЛО ВЫЧИТАНИЯ: для любого события число благоприятных исходов можно найти вычитанием числа неблагоприятных исходов из числа всех исходов эксперимента.

Пример 2. Вы получаете 6 карт из колоды. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один туз?
Общее число исходов:
n = 36 · 35 · 34 · 33 · 32 · 31.
Число неблагоприятных исходов, при которых среди 6 сданных карт нет тузов, равно
32 · 31 · 30 · 29 · 28 · 27,
а значит, по правилу вычитания число благоприятных исходов равно
m = 36 · 35 · 34 · 33 · 32 · 31 - 32 · 31 · 30 · 29 · 28 · 27. Искомая вероятность равна .

Наконец, очень часто при подсчете вероятностей возникает необходимость определить, сколькими способами можно выбрать k предметов из N?

Например:

- одновременно вынимают две карты из колоды;
- наугад зачеркивают 6 чисел из 49;
- случайно отбирают трех человек из 25.

Число комбинаций, о которых идет речь в этих экспериментах, часто используется в математике. Оно называется числом сочетаний из N по k и обозначается N (читается "цэ из эн по ка"). С помощью правила умножения можно доказать, что число сочетаний вычисляется по формуле: N =

Теперь можно найти общее количество исходов в каждом из приведенных выше экспериментов:

- 36 =;
- 49 =;
- 25 =.