В предыдущем пункте мы научились оценивать вероятность случайного события по относительной частоте его появления в длинной серии одинаковых опытов. Можно назвать такую вероятность экспериментальной или "апостериорной" (от лат. a posteriori — на основании опыта).

Но, во-первых, какой бы длинной ни была проведенная серия испытаний, она даст только приближенное значение вероятности. Во-вторых, далеко не всегда такую серию можно осуществить: скажем, на экспериментальное вычисление вероятности выигрыша в лотерею вам может просто не хватить денег! К счастью, во многих ситуациях существуют более экономичные "априорные" способы расчета вероятностей (от лат. a priori — заранее, независимо от опыта).

Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n возможных исходов, причем все исходы равновозможны, т.е. нет никаких оснований считать один исход вероятнее другого.

Например:

- бросаем монету: n = 2;
- бросаем кубик: n = 6;
- вытягиваем карту из колоды: n = 36.

Конечно, во всех этих примерах можно говорить о равновозможности только при определенных условиях: монета и кубик правильные, колода хорошо перетасована и т. д.

Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события A. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т. е. событие А наступает при любом из этих исходов).

Например:

- выпадет герб: m = 1;
- на кубике выпадет четное число: m = 3;
- из колоды вытянут туза: m = 4.

Вероятностью случайного события A в этой ситуации назовем дробь , где n — число всех возможных исходов эксперимента, m — число исходов, благоприятных для события A:

.

Обозначение Р(А) происходит от первой буквы французского слова probabilite — вероятность.

Например:

- P {выпадет герб} =;
- P {на кубике выпадет четное число} =;
- P {из колоды вытянут туза} =.

Рассмотренное выше определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами!

Другой великий француз — Даламбер — вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов.

Пример. Ошибка Даламбера. Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Р е ш е н и е, п р е д л о ж е н н о е Д а л а м б е р о м. Опыт имеет три равновозможных исхода:
1) обе монеты упали на "орла";
2) обе монеты упали на "решку";
3) одна из монет упала на "орла", другая на "решку".
Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому искомая вероятность равна .

П р а в и л ь н о е (!) р е ш е н и е. Опыт имеет четыре равновозможных исхода:
1) первая монета упала на "орла", вторая тоже на "орла";
2) первая монета упала на "решку", вторая тоже на "решку";
3) первая монета упала на "орла", а вторая - на "решку";
4) первая монета упала на "решку", а вторая - на "орла".
Из них благоприятными для нашего события будут 2 исхода, поэтому искомая вероятность равна .

Даламбер совершил одну из самых распространенных ошибок, допускаемую при вычислении вероятности: он объединил два принципиально разных исхода в один. Чтобы не повторить эту ошибку, помните, что природа различает все предметы, даже если внешне они для нас неотличимы.