Определение степени.
Степенью аn действительного числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Если n — целое отрицательное число, то по определению

, .

Нулевая степень любого действительного числа а полагается равной 1:

.

Корнем степени n из действительного числа а, где n — натуральное число, называется число, n- я степень которого равна а.

Если и n — четное, то существует единственный неотрицательный корень уравнения . Его называют арифметическим корнем n-ой степени из числа а и обозначают символом .
При нечетном n уравнение имеет единственный корень для любого действительного а. Этот корень для любого а (в том числе и для отрицательного) обозначают символом .

Степенью действительного числа а > 0 с рациональным показателем , где m — целое число, a n — натуральное (n>1), называется число : .
Если r > 0, то .

Степенью действительного числа а>1 (0 < а < 1) с иррациональным показателем a называется число аa, которое для любых рациональных p и q, таких что p < a < q, удовлетворяет неравенству:

ap < аa < aq

(aq < аa < ap).

Свойства степени.
Для любых действительных чисел r и s и для любых положительных а и b выполняются равенства:
l. ar · as = ar + s;
2. ar : as = ar - s;
3. (ar)s = ars;
4. (ab)r = arbr;
5. ;
6. ar < br при r > 0; ar > br при r < 0;
7. ar > as при а > 1; ar < as при 0 < а < 1.