2

## Делимость чисел

Основные цели

Усиление внимания к идейным аспектам этой сложной темы за счет снятия проблем технического характера и создания условий для наблюдения, экспериментирования, обеспечения возможности работы с обширным числовым материалом. Создание условий для лучшего усвоения взаимосвязи умножения и деления, терминов "делитель", "наибольший общий делитель", "кратное".

Методический комментарий

При изучении этой темы используется следующий набор компьютерных инструментов из лаборатории "Делимость чисел":

- "Деление с остатком",

- "Разложение на два множителя",

- "Разложение на простые множители",

- Диаграмма "Количество простых делителей".

Подчеркнем, что решение задач на компьютере осуществляется после того, как соответствующий материал рассмотрен по учебнику и учащиеся уже знакомы с терминологией, владеют элементарными умениями.

Первые упражнения (№ 1-4) п.2.1 "Делители и кратные" направлены на отработку понятий делитель и кратное; на понимание того, что если а = в Ч с, то в и с - делители а и а кратно в и с, что при делении а на в частное равно с. Упражнения № 5-8 - это задачи, в которых рассмотренные выше понятия "работают", т.е. они используются для получения ответа на содержательный вопрос. В упражнениях № 9-10 предлагается естественный и доступный пониманию детей способ нахождения НОД двух чисел - рассматриваются все общие делители и выясняется, какой из них наибольший (понятно, что такое решение в техническом отношении возможно только при использовании компьютера). Упражнения № 11-12 - задачи-исследования; они доступны для учащихся при наличии данного инструмента.

К п.2.2 "Простые и составные числа" предлагается простой в употреблении и понятный детям инструментарий. Учащиеся в прямом смысле слова могут просматривать натуральный ряд (вплоть до 1000000) и для каждого интересующего их натурального числа узнать число его делителей. В системе упражнений даны лишь несколько заданий, которые решаются с использованием этого инструментария. Мы рекомендуем этот список дополнить. Важно также, что предусмотрена возможность выделения цветом чисел, имеющих то или иное число делителей (например, простых, имеющих ровно два делителя).

Первые упражнения (№1-3) п.2.3 "Разложение числа на простые множители" аналогичны первым упражнениям п.2.1. В упражнениях № 4-6 важна идея - здесь формируется понимание некоторых фактов. Например, число делится на 4, если в его разложении на простые множители есть два множителя, равные 2; число делится на 6, если в его разложении есть простые множители 2 и 3. В № 6 показан прием деления чисел с использованием данного инструмента, в № 7-8 - прием нахождения НОД, который затем применяется в упражнениях № 9-11.

Упражнения п.2.4 "Деление с остатком" позволяют провести числовой эксперимент с применением знакомого из начальной школы понятия "остаток". Упражнения, нетрадиционные для школы, снабжены подсказкой.

Комментарий к упражнениям

Пункт 2.1

№7.а) Если перейти на формальный язык, то задача будет звучать так. Является ли число 60 делителем числа 1500? Так как 1500 = 60 Ч 25, то ответ: да. Дополнительный вопрос: сколько человек будет в каждой шеренге? (ответ: 25).

№10.а) Число возможностей - это количество общих делителей чисел 380 и 360.

№11. Ответ: число 100:01 делится на 11, если число нулей в промежутке между единицами - четно.

Пункт 2.2

№12. Берется какое-нибудь простое число (удобнее взять наименьшее -

число 2) и путем просмотра натурального ряда заполняются "пропуски" в решении; после ответа о числе делителей пятой степени простого числа, надо остановиться и выявить закономерность: число делителей на 1 больше соответствующей степени простого числа. Полезно также на первых шагах называть и сами делители. Например, 4 делится на 1, на 2 и на 4; 8 делится на 1, на 2, на 4 и на 8 и т.д.

№13. Сначала надо выписать достаточное для наблюдений количество таких чисел: 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35. Понятно, что каждое из них - произведение двух простых чисел: 6 = 2 Ч 3, 10 = 2 Ч5, 14 = 2 Ч7, 15 = 3 Ч 5 и т.д.

Пункт 2.3

№7-11. В упражнениях используется алгоритм поиска НОД с помощью разложения данных чисел на простые множители.

№9. Целесообразно предложить учащимся самим сконструировать пару взаимно простых чисел.