3

## Линейные уравнения с двумя переменными

Основные цели

Усиление роли графических представлений при формировании основных понятий темы; увеличение удельного веса заданий, предполагающих работу с графиками линейных уравнений.

Методический комментарий

Назначение п.3.1 "Линейное уравнение с двумя переменными и его график" - это работа с уравнениями прямой общего вида, т.е. с уравнением a x + by = c, где хотя бы один из коэффициентов a и b отличен от нуля. При этом задания направлены, прежде всего, на отработку основных, базовых умений:

- распознавание уравнения данного вида и умение правильно указать коэффициенты a, b и c;

- распознавание важных частных случаев, когда прямая - график уравнения - параллельна одной из координатных осей;

- умение определять по графику координаты указанных точек, в частности, точек пересечения с осью x и с осью y и др. (см.№2-6).

Кроме того, учащиеся знакомятся с обратной задачей подбора уравнения конкретной прямой (№8), а также с более сложными графиками, "сконструированными" из прямых (№7).

В п.3.2 "Уравнение прямой вида y=kx + l" аналогичная работа продолжается с уравнением прямой, разрешенным относительно переменной y, т.е. с уравнением вида y = kx + l. Здесь использование компьютера облегчит формирование полезного умения - по коэффициентам k и l уравнения y = kx + l представлять положение прямой на координатной плоскости (см.№3, 4). Важная роль в этом месте курса должна быть отведена исследовательской деятельности, организованной с помощью компьютера. Так, учащиеся путем наблюдений должны открыть для себя такие факты, как положение в плоскости прямой y= kx в зависимости от знака коэффициента k (№5), влияние коэффициента k на угол наклона к положительному направлению оси x (№6), параллельность прямых с одинаковым угловым коэффициентом (№8). Эта исследовательская деятельность должна предшествовать изучению материала по учебнику; учебный процесс здесь целесообразно строить по схеме: наблюдение - вербальное выражение установленного факта - обоснование (если оно доступно на данном этапе) - применение.

Назначение п.3.3 "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными" - это создание наглядной основы для усвоения таких понятий, как "система уравнений с двумя переменными", "решение системы", а также графическое исследование систем двух линейных уравнений с двумя переменными.

В п.3.4 "Графическая интерпретация линейного неравенства с двумя переменными" содержатся привлекательные для многих учащихся упражнения - построение на координатной плоскости различных областей, ограниченных прямыми. Компьютер "берет на себя" все проблемы технического характера, что позволяет учащимся дать простор фантазии при создании собственных "картинок". Немаловажным является и то обстоятельство, что учащиеся многократно наблюдают, какая полуплоскость задается неравенством вида y ? kx + l, а какая - неравенством вида y ? kx + l. Одновременно формируется основа для умения самостоятельно указывать соответствующую полуплоскость.

Комментарий к упражнениям

Пункт 3.1

№2. Подтверждать правильность выбора или опровергать его нужно с помощью соответствующего графического изображения.

№4-5. Упражнения целесообразно продублировать.

№7. К упражнению есть "подсказка".

№7.г) Левую часть уравнения нужно разложить на множители:

(x-2)(x+2)(y-1)(y+1)=0.

График состоит из четырех попарно параллельных прямых:

x=2, x=-2, y=1, y=-1.

Пункт 3.2

№3. Таблица заполняется на основе наблюдений.

№10. Можно строить разные сетки, выбирая разный "шаг" по осям. Например, можно взять прямые y=x, y=x-1, y=x+1, y=x-2, y=x+2 и т.д., а также y=-x, y=-x-2, y=-x+2, y=-x-4, y=-x+4 и т.д.

№13.1а) Построению должно предшествовать коллективное обсуждение: как должна располагаться прямая, симметричная прямой

y= -2x+4 относительно оси x. После этого подбор коэффициентов будет более осознанным.

№13.1б) Предлагается для индивидуального решения.

№14. Возможные варианты решений:

а) y=3, y=-3, y=2x=5, y=2x-5;

б) y= - x+2, y= - x-2, y= x-2, y= x+2.

№15. Возможные варианты решений:

а) y=3x+4, y=-3x+4, y=-2;

б) y= 0,4x-2, y= -0,4x+2, y=-1.

Пункт 3.3

№4. Возможные варианты ответов:

а)

м x+y=7

н

о 2 x - y=2 ; решением служит пара x=3, y=4;

в)

м 2x+y= -1

н

о x - y= -5 ; решением служит пара x=-2, y=3;

№6. Задача сводится к подбору уравнения прямой, проходящей через точки (0;-1) и (4;5); точнее - ее углового коэффициента. Прием решения описан в "подсказке".

Пункт 3.4

№1-3. Эти упражнения образуют "цепочку". "Граничные" прямые являются вертикалями или горизонталями. Неравенствами задаются полуплоскости (№1), вертикальная и горизонтальная полосы (№2), прямоугольник (№3).

№8.1) Системой неравенств задается прямоугольник. Учащиеся должны это не только увидеть, но и обосновать.